暴力美学——火箭引擎效能探究

periscope

诸位在研制火箭的时候，是否发现同样的终端速度和负荷，不同人设计的火箭其总重相差极其悬殊？或者还有人在为推力、比冲、推重比直接的关系苦恼？在此我和大家一起探究下火箭引擎的效能问题。

引擎基础属性

首先我们先要明确比冲的概念，相信很多人对此很疑惑。比冲的定义是：单位质量的推进剂所能带来的冲量（动量的改变），单位为米/秒（m/s）或牛·秒/千克（N·s/kg）。是不是感觉很生硬？没关系，我们只要知道比冲和火箭的喷流速度是一致的。所谓喷流速度也就是火箭燃料燃烧后的喷射速度，它和燃料质量的乘积也就是动量了。有了动量后下面的计算就简单了，为了更好的说明引擎的效能，我们需要设计一种数学模型：此火箭只有一个火箭引擎，自身携带1t有效燃料，没有外力。

要将有效负载送入轨道，最重要的是获得足够的终端速度，由于发射初始阶段通常定义为0m/s，因此这里的终端速度也就是Δv。此速度用动量守恒计算，即：有效燃料质量X喷流速度=引擎质量X终端速度。

引擎名                             大气比冲(m/s)     真空比冲(m/s)     引擎质量(t)     大气终端速度(m/s/t)     真空终端速度(m/s/t)     推力(kN)     自身推重比
LV-1R-液态燃料发动机           220                     290                     0.03                   7333.3                          9666.7                   1.50              50.00
LV-1-液态燃料推进器             220                     290                     0.03                   7333.3                          9666.7                   1.50              50.00
24-77型小型推进器               250                     300                     0.09                   2777.8                          3333.3                    20                222.22
罗茨科马克斯48-7s型            300                     350                     0.1                     3000.0                          3500.0                    20                200.00
LV-909-液态燃料发动机         300                     390                     0.5                     600.0                            780.0                      50                100.00
MARK-55-侧挂式液推             290                     320                     0.9                     322.2                            355.6                     120               133.33
LV-T30-液态燃料发动机         320                     370                    1.25                    256.0                            296.0                     215               172.00
LV-T45-液态燃料发动机         320                     370                    1.5                      213.3                            246.7                     200               133.33
LV-N-热核发动机                    220                     800                    2.25                    97.8                              355.6                     60                 26.67
“贵宾犬”液态发动机               270                    390                     2.5                      108.0                            156.0                     220               88.00
“船长”液态发动机                  300                     350                     4                         75.0                               87.5                      650               162.50
“梅恩塞尔”液体发动机           280                     330                     6                         46.7                               55.0                      1500             250.00

自身推重比只是个参考值，他是反映发动机在总质量中的比重，数值越大比重越小，能够承担的负载也就越多，但实际上还要看其他情况来定夺。

由此可见大推力不代表高效率，推重比出了发射有作为外，也对终端速度无影响。诸位通常认为太空最高效率的核推其实未必是最高效的，“蚁用”发动机其实很有用的。当然这些是在理想状态下的情况，实际上我们不太可能为了高效能而堆大量小发动机，而且小发动机多了其负载也增加，最后还是会影响终端速度。为此需要一个效率关系，以便选择合适种类和数量的发动机。计算方法就是找各种发动机的数量临界点，过了临界点就换更大推力的发动机，以减少总质量。

计算公式：k=(m1*V2)/(m2*V1)  临界数=(上阶引擎质量X下阶比冲）/（下阶引擎质量X上阶比冲），所谓临界数指的是该引擎在一级中的最大数量。

大气引擎关系
引擎名                              临界数     临界总质量(t)
LV-1R-液态燃料发动机         2.4             0.306
罗茨科马克斯48-7s型       1.08 (11.7)    2.040 (22.448)
24-77型小型推进器             10.8            20.408
LV-T30-液态燃料发动机       3.4             65.816
“船长”液态发动机                1.6             66.326
“梅恩塞尔”液体发动机        ——              ——

真空引擎关系
引擎名                              临界数     临界总质量(t)
LV-1R-液态燃料发动机         2.8            0.306
罗茨科马克斯48-7s型        1.05 (4.5)     2.040 (8.163)
24-77型小型推进器              4.3            8.163
LV-909-液态燃料发动机       2.2            10.204
MARK-55-侧挂式液推           1.2            12.244
LV-T30-液态燃料发动机       1.9            21.938
“贵宾犬”液态发动机             1.8            22.448
“船长”液态发动机                1.6            66.326
“梅恩塞尔”液体发动机         ——             ——

临界总质量是当推重比等于1的情况下的质量，作为K星发射的参考值使用；LV-1R和LV-1引擎性能相同，分别对应底推和侧挂；由于24-77型是侧挂式的，为了方便底推，特意将48-7s型到下2阶的临界值写在上面，方便装配使用；其他引擎的效率要么太差要么被上一级完全覆盖，除了特殊用途不要选用。估计大家最感到意外的是号称最高真空比冲的核推居然没排上，这其实也不意外，该引擎的自身推重比实在是太低了，以至于大量动能都浪费在自己的质量上，只能说是个美丽的陷阱。

发射阶段特点

下面我们要考虑在K星发射的问题了，发射分为分级阶段和终端飞行阶段，首先我们讨论下分级阶段的特点，为了揭示本质依然需要个数学模型：该火箭只有燃料质量；只有重力影响，重力加速度为恒定9.8m/s^2，作用距离无穷；地面静止竖直发射，推力为0时速度为0。

由于地面发射牵涉到的变量很多，为了简化问题，我们将推重比作为变量，探讨下发射最佳推重比，推重比为x，比冲为V，质量为m，推力为F



当x=2时，h有最大值，最大值是0.125V^2/g。计算结果就是推重比为2的时候，发射效率最高。当然我们不可能将整个发射过程完美控制，因此就需要一个推重比区间，通常是最大理论高度的90%来计算，计算的结果是x∈[1.519,2.925]。也就是说每级火箭初推重比和末推重比最好控制在1.519~2.925之间。

注意此比冲V是燃料比冲，也就是没有任何负载情况下的，如果是有负载的情况，就需要计算当量比冲。由于计算中牵涉到变加速度，因此需要用微积分来运算，有兴趣的可以自己算下。



Vm是当量比冲，V是比冲，F是推力，m是燃料质量，m’是负载质量，变量都用标准单位。

通常末端飞行阶段不会继续冲天，如果诸位对“冲天猴”感兴趣的话我们就来研究下末端竖直飞行的特点，同样需要设立个数学模型：该火箭只有燃料质量；只有重力影响，重力加速度为恒定9.8m/s^2，作用距离无穷；地面静止竖直发射。与上述模型不同的当燃料用完后，飞行器还是要继续飞行，直到速度为0。



由此可见，当推重比为无穷大的时候才有最大值，很明显这个是不可能的。达到90%效率的话需要推重比为10，这个是否合适就看诸位的想法了。总之末端飞行就是将引擎开到最大，直至到达指定速度，这样才能冲的最高。

发射验证

试验一：验证发射推重比对分级阶段高度上限的影响

水桶一号


全功率发射，初推重比约为2.99


2/3功率发射，初推重比约为2.00


2/5功率发射，初推重比约为1.20


由此可见推重比对发射阶段的影响还是很明显的，诸位设计推进器的时候切莫犯越快越好的误区。

试验二：验证引擎数量和性能对最终状态的影响
为了能更好的体现出飞行性能，特地选择了黎明（黄昏）时间竖直发射。

喜闻乐见的城管装配方案







双发LV-T30-液态燃料发动机方案，由于发射中发生偏转，被迫装上SAS







这个不解释了，请问有多少发动机？






试验说明发动机不是越大越好，需要根据具体的负载选择合适的发动机和合适的数量。

最后祝各位“冲天猴”玩的痛快，神马环绕、弹弓都爆弱了，我们需要的直接上去！（其实暴力火箭一点都不暴力，充满了智慧）

periscope

终于完成了，希望不要沉到太平洋去，这个花费了很多精力和时间。

HoneyFox

有效燃料质量X喷流速度=引擎质量X终端速度
你觉得这个式子没问题么？

FRIGHTER

HoneyFox 发表于 2013-9-25 22:59
有效燃料质量X喷流速度=引擎质量X终端速度
你觉得这个式子没问题么？

看起来他忘了算燃料箱和载荷= =

FRIGHTER

LZ
你这个是建立在没有载荷的情况下的。
当你要推动10吨载荷的时候，核引擎的2吨多在最终的动量里就不那么明显了。如果真是做暴力火箭一次打个两百吨的节奏。那这2吨多的差距压根就是可以忽略不计的

8749236

我后悔点进来了……
什么都不知道然后一个一个去试才有趣。
当所有的事情都知道后。玩游戏还有意思么=(

RuohongZhao

这里有一个表格：

天空の遗迹

本来只是看到一些结论上的误解，但是发现这里面隐藏了几个致命的错误。
虽然尊重LZ的探索和劳动，但是错误归错误，甚至我想很无趣地告诉你，很抱歉，这几个很容易被忽略的小错误导致了几乎全篇的错误，我想你不会介意的吧。

1、有效燃料质量X喷流速度=引擎质量X终端速度

根据你的数学模型，质量有2个：1t的燃料，以及引擎的质量。本来应该还有燃料罐的质量，但是按照这个模型应该为零，放心，问题不在这里。
问题在这里：有效燃料质量X喷流速度=引擎质量X终端速度这个公式，咋一看确实是动量守恒定律，但是这是以火箭外的观察者为参照系，那么假定某一时刻，火箭的速度为V，燃料相对于火箭的喷出速度为Ve，对于目前参照系来说，燃料的喷出速度应该是V-Ve，意思就是燃料喷出速度是时刻在变化的。

正解应该是对某一时刻（Δt→0）应用动量守恒定律，然后积分，以火箭本身或者火箭外的观察者为参考系都可以，以火箭本身会容易些。这样就可以推导出著名的火箭方程：ΔV = Ve·ln( M0/M1 )
M0和M1分别为喷射前和喷射后的火箭总质量
ΔV就是喷射结束后最终改变的速度，也就是你说的终端速度
Ve为燃料相对于火箭的喷出速度 = 比冲 乘以 重力加速度（地球的，9.8）

顺便说一下，你对比冲的理解也是错误的。比冲描述的是单位质量的燃料所产生的推力，单位不是m/s，而是s，计算公式如上，详见各类百科。【前半句我也说错了，编辑一下，对比冲的理解无误，11L已解释】
而你在所有的终端速度计算中全都把比冲当做燃料的喷出速度来用了，所以按照你所推导的公式，表格中所有的终端速度实际上都小了一个数量级，还要再乘以9.8。
而之所以数据看上去还是比较像样的原因在于正好公式也错了，歪打正着……

再看一下火箭方程，要增加ΔV，首先当然要增加发射前后的重量比M0/M1，显然这就意味着要尽量减轻除了燃料以外的质量。加上载荷，要算临界其实只要算这个比值就可以了。
还有一个办法，就是要增大Ve，而Ve跟比冲密切相关，所以选择大的比冲是至关重要的，这就是为什么大家都说热核发动机的效率高的原因，真空中800的比冲无人能比，当然还有电推4200的比冲更加恐怖，但是推力实在是……
我们可以用火箭方程来算一下真空中热核火箭在1t燃料下的ΔV = 220 ·9.8 ·ln( 3.25/2.25 ) = 2882.96，而非355.6。

2、发射阶段特点

简化环境，排除阻力和重力影响，不计重力加速度的变化，这些都没问题。
第二个算Vm的公式你自己也说明了这是变加速运动，所以用积分计算，但是第一个算h的公式竟然简单的用了1/2at^2的公式！
其次还是那个问题，你的公式中比冲是用m/s来带入计算的。
所以底下全错了……

3、关于推重比
其实推重比压根没有参与ΔV 的计算。
假如在真空中，并且没有任何外力，火箭1推重比为100，火箭2为1，但是它们的Ve和M0/M1都是相同的，那么最终改变的速度也必定相同，区别仅仅在于加速的时间而已。
我个人认为，推重比的重要更多是在重力场中，首先要飞得起来，其次要尽快飞出重力场的影响，不然的话燃料跟时间都浪费在克服重力做功了，而且大气中的比冲还会打折扣。还有就是在变轨中，推重比太小了就无法在有限的时间内完成变轨。

综上所述，无论是暴力也好，还是精打细算也好，引擎的效率都是一样的选，在推重比够用的情况下优先选比冲高的。
但愿LZ你能看完……其实还好啦，只是公式的误用和对比冲的误解罢了，我一开始接触这块内容也是错的一塌糊涂，当时我也写了一篇对引擎效率的探索的帖子，现在看来虽然也不能算全错，但是探讨的全是没用的东西……

kspboy

这个帖子的信息都好专业，公式方面的东西真不太懂呢，看着眼花。

但我弄的火箭就是慢慢试出来的，然后确定觉得比较好的组合方案（这样弄火箭很考耐心的，我居然可以用一天来试怎么把七个大城管送上空间站）——累呀！

HoneyFox

天空の遗迹 发表于 2013-9-26 08:01
本来只是看到一些结论上的误解，但是发现这里面隐藏了几个致命的错误。
虽然尊重LZ的探索和劳动，但是错误 ...

LZ其实是把那整罐子燃料连带罐子一起以极高的速度射出去了。那样的话那个公式就可以适用了。
另外，比冲其实可以由排气速度来表示，并且用排气速度表示其实更直接明了，否则不排除有人不了解公式而直接拿其他星球或者火箭当地G值带入公式计算而带来更多错误。