量子物理史話

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二

物理學，海森堡堅定地想，應當有一個堅固的基礎。它只能夠從一些直接可以被實驗觀察和檢驗的東西出發，一個物理學家應當始終堅持嚴格的經驗主義，而不是想像一些圖像來作為理論的基礎。玻爾理論的毛病，就出在這上面。

我們再來回顧一下玻爾理論說了些什麼。它說，原子中的電子繞著某些特定的軌道以一定的頻率運行，並時不時地從一個軌道躍遷到另一個軌道上去。每個電子軌道都代表一個特定的能級，因此當這種躍遷發生的時候，電子就按照量子化的方式吸收或者發射能量，其大小等於兩個軌道之間的能量差。

嗯，聽起來不錯，而且這個模型在許多情況下的確管用。但是，海森堡開始問自己。一個電子的"軌道"，它究竟是什麼東西？有任何實驗能夠讓我們看到電子的確繞著某個軌道運轉嗎？有任何實驗可以確實地測出一個軌道離開原子核的實際距離嗎？誠然軌道的圖景是人們所熟悉的，可以類比於行星的運行軌道，但是和行星不同，有沒有任何法子讓人們真正地看到電子的這麼一個"軌道"，並實際測量一個軌道所代表的"能量"呢？沒有法子，電子的軌道，還有它繞著軌道的運轉頻率，都不是能夠實際觀察到的，那麼人們怎麼得出這些概念並在此之上建立起原子模型的呢？我們回想一下前面史話的有關部分，玻爾模型的建立有著氫原子光譜的支持。每一條光譜線都有一種特定的頻率，而由量子公式E1-E2 = hν，我們知道這是電子在兩個能級之間躍遷的結果。但是，海森堡爭辯道，你這還是沒有解決我的疑問。沒有實際的觀測可以證明某一個軌道所代表的"能級"是什麼，每一條光譜線，只代表兩個"能級"之間的"能量差"。所以，只有"能級差"或者"軌道差"是可以被直接觀察到的，而"能級"和"軌道"卻不是。

為了說明問題，我們還是來打個比方。小時候的樂趣之一是收集各種各樣的電車票以扮作售票員，那時候上海的車票通常都很便宜，最多也就是一毛幾分錢。但規矩是這樣的：不管你從哪個站上車，坐得越遠車票就相對越貴。比如我從徐家彙上車，那麼坐到淮海路可能只要3分錢，而到人民廣場大概就要5分，到外灘就要7 分，如果一直坐到虹口體育場，也許就得花上1毛錢。當然，近兩年回去，公交早就換成了無人售票和統一計費--不管多遠都是一個價，車費也早就今非昔比了。

讓我們假設有一班巴士從A站出發，經過BCD三站到達E這個終點站。這個車的收費沿用了我們懷舊時代的老傳統，不是上車一律給2塊錢，而是根據起點和終點來單獨計費。我們不妨訂一個收費標準：A站和B站之間是1塊錢，B和C靠得比較近，0.5元。C和D之間還是1塊錢，而D和E離得遠，2塊錢。這樣一來車費就容易計算了，比如我從B站上車到E站，那麼我就應該給0.5+1+2=3.5元作為車費。反過來，如果我從D站上車到A站，那麼道理是一樣的：1+0.5+1=2.5塊錢。

現在玻爾和海森堡分別被叫來寫一個關於車費的說明貼在車子裏讓人參考。玻爾欣然同意了，他說：這個問題很簡單，車費問題實際上就是兩個站之間的距離問題，我們只要把每一個站的位置狀況寫出來，那麼乘客們就能夠一目了然了。於是他就假設，A站的座標是0，從而推出：B站的座標是1，C站的座標是1.5，D站的座標是2.5，而E站的座標是4.5。這就行了，玻爾說，車費就是起點站的座標減掉終點站的座標的絕對值，我們的"座標"，實際上可以看成一種"車費能級"，所有的情況都完全可以包含在下面這個表格裏：

站點      座標（車費能級）

A          0
B          1
C          1.5
D          2.5
E          4.5

這便是一種經典的解法，每一個車站都被假設具有某種絕對的"車費能級"，就像原子中電子的每個軌道都被假設具有某種特定的能級一樣。所有的車費，不管是從哪個站到哪個站，都可以用這個單一的變數來解決，這是一個一維的傳統表格，完全可以表達為一個普通的公式。這也是所有物理問題的傳統解法。

現在，海森堡說話了。不對，海森堡爭辯說，這個思路有一個根本性的錯誤，那就是，作為一個乘客來說，他完全無法意識，也根本不可能觀察到某個車站的"絕對座標"是什麼。比如我從C站乘車到D站，無論怎麼樣我也無法觀察到"C站的座標是1.5"，或者"D站的座標是2.5"這個結論。作為我--乘客來說，我所能唯一觀察和體會到的，就是"從C站到達D站要花1塊錢"，這才是最確鑿，最堅實的東西。我們的車費規則，只能以這樣的事實為基礎，而不是不可觀察的所謂"座標"，或者"能級"。

那麼，怎樣才能僅僅從這些可以觀察的事實上去建立我們的車費規則呢？海森堡說，傳統的那個一維表格已經不適用了，我們需要一種新類型的表格，像下面這樣的：

     A     B     C     D     E
A    0     1     1.5   2.5   4.5
B    1     0     0.5   1.5   3.5
C    1.5   0.5   0     1     3
D    2.5   1.5   1     0     2
E    4.5   3.5   3     2     0

這裏面，豎的是起點站，橫的是終點站。現在這張表格裏的每一個數位都是實實在在可以觀測和檢驗的了。比如第一行第三列的那個1.5，它的橫坐標是A，表明從A站出發。它的縱坐標是C，表明到C站下車。那麼，只要某個乘客真正從A站坐到了C站，他就可以證實這個數字是正確的：這個旅途的確需要1.5塊車費。

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好吧，某些讀者可能已經不耐煩了，它們的確是兩種不同類型的東西，可是，這種區別的意義有那麼大嗎？畢竟，它們表達的，不是同一種收費規則嗎？但事情要比我們想像的複雜多了，比如玻爾的表格之所以那麼簡潔，其實是有這樣一個假設，那就是"從A到B"和"從B到A"，所需的錢是一樣的。事實也許並非如此，從 A到B要1塊錢，從B回到A卻很可能要1.5元。這樣玻爾的傳統方式要大大頭痛了，而海森堡的表格卻是簡潔明瞭的：只要修改B為橫坐標A為縱坐標的那個數位就可以了，只不過表格不再按照對角線對稱了而已。

更關鍵的是，海森堡爭辯說，所有的物理規則，也要按照這種表格的方式來改寫。我們已經有了經典的動力學方程，現在，我們必須全部把它們按照量子的方式改寫成某種表格方程。許多傳統的物理變數，現在都要看成是一些獨立的矩陣來處理。

在經典力學中，一個週期性的振動可以用數學方法分解成為一系列簡諧振動的疊加，這個方法叫做傅裏葉展開。想像一下我們的耳朵，它可以靈敏地分辨出各種不同的聲音，即使這些聲音同時響起，混成一片嘈雜也無關緊要，一個發燒友甚至可以分辨出CD音樂中樂手翻動樂譜的細微沙沙聲。人耳自然是很神奇的，但是從本質上說，數學家也可以做到這一切，方法就是通過傅立葉分析把一個混合的音波分解成一系列的簡諧波。大家可能要感歎，人耳竟然能夠在瞬間完成這樣複雜的數學分析，不過這其實是自然的進化而已。譬如守門員抱住飛來的足球，從數學上說相當於解析了一大堆重力和空氣動力學的微分方程並求出了球的軌跡，再比如人本能的趨利避害的反應，從基因的角度說也相當於進行了無數風險概率和未來獲利的計算。但這都只是因為進化的力量使得生物體趨於具有這樣的能力而已，這能力有利於自然選擇，倒不是什麼特殊的數學能力所導致。

回到正題，在玻爾和索末菲的舊原子模型裏，我們已經有了電子運動方程和量子化條件。這個運動同樣可以利用傅立葉分析的手法，化作一系列簡諧運動的疊加。在這個展開式裏的每一項，都代表了一個特定頻率。現在，海森堡準備對這個舊方程進行手術，把它徹底地改造成最新的矩陣版本。但是困難來了，我們現在有一個變數p，代表電子的動量，還有一個變數q，代表電子的位置。本來，在老方程裏這兩個變數應當乘起來，現在海森堡把p和q都變成了矩陣，那麼，現在p和q應當如何再乘起來呢？

這個問題問得好：你如何把兩個"表格"乘起來呢？

或者我們不妨先問自己這樣一個問題：把兩個表格乘起來，這代表了什麼意義呢？

為了容易理解，我們還是回到我們那個巴士車費的比喻。現在假設我們手裏有兩張海森堡制定的車費表：矩陣I和矩陣II，分別代表了巴士I號線和巴士II號線在某地的收費情況。為了簡單起見，我們假設每條線都只有兩個站，A和B。這兩個表如下：

I號線（矩陣I）：

  A B
A 1 2
B 3 1

II號線（矩陣II）：

  A B
A 1 3
B 4 1

好，我們再來回顧一下這兩張表到底代表了什麼意思。根據海森堡的規則，數位的橫坐標代表了起點站，縱坐標代表了終點站。那麼矩陣I第一行第一列的那個1就是說，你坐巴士I號線，從A地出發，在A地原地下車，車費要1塊錢（啊？為什麼原地不動也要付1塊錢呢？這個……一方面是比喻而已，再說你可以把1塊錢看成某種起步費。何況在大部分城市的地鐵裏，你進去又馬上出來，的確是要在電子卡裏扣掉一點錢的）。同樣，矩陣I第一行第二列的那個2是說，你坐I號線從A 地到B地，需要2塊錢。但是，如果從B地回到A地，那麼就要看橫坐標是B而縱坐標是A的那個數字，也就是第二行第一列的那個3。矩陣II的情況同樣如此。

好，現在我們來做個小學生水平的數學練習：乘法運算。只不過這次乘的不是普通的數位，而是兩張表格：I和II。I×II等於幾？

讓我們把習題完整地寫出來。現在，boys and girls，這道題目的答案是什麼呢？

┏          ┓     ┏        ┓
┃ 1  2   ┃     ┃ 1  3   ┃
┃ 3  1   ┃ ×  ┃ 4  1   ┃ ＝ ？
┗          ┛     ┗         ┛
*********

飯後閒話：男孩物理學

1925年，當海森堡做出他那突破性的貢獻的時候，他剛剛24歲。儘管在物理上有著極為驚人的天才，但海森堡在別的方面無疑還只是一個稚氣未脫的大孩子。他興致勃勃地跟著青年團去各地旅行，在哥本哈根逗留期間，他抽空去巴伐利亞滑雪，結果摔傷了膝蓋，躺了好幾個禮拜。在山谷田野間暢遊的時候，他高興得不能自已，甚至說"我連一秒種的物理都不願想了"。

量子論的發展幾乎就是年輕人的天下。愛因斯坦1905年提出光量子假說的時候，也才26歲。玻爾1913年提出他的原子結構的時候，28歲。德布羅意 1923年提出相波的時候，31歲。而1925年，當量子力學在海森堡的手裏得到突破的時候，後來在歷史上閃閃發光的那些主要人物也幾乎都和海森堡一樣年輕：泡利25歲，狄拉克23歲，烏侖貝克25歲，古德施密特23歲，約爾當23歲。和他們比起來，36歲的薛定諤和43歲的波恩簡直算是老爺爺了。量子力學被人們戲稱為"男孩物理學"，波恩在哥廷根的理論班，也被人叫做"波恩幼稚園"。

不過，這只說明量子論的銳氣和朝氣。在那個神話般的年代，象徵了科學永遠不知畏懼的前進步伐，開創出一個前所未有的大時代來。"男孩物理學"這個帶有傳奇色彩的名詞，也將在物理史上鐫刻出永恆的光芒。

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三

上次我们布置了一道练习题，现在我们一起来把它的答案求出来。

┏        ┓    ┏       ┓
┃ 1 2   ┃    ┃ 1 3    ┃

┃ 3 1   ┃ × ┃ 4 1   ┃ ＝ ？
┗         ┛    ┗       ┛

如果你还记得我们那个公共巴士的比喻，那么乘号左边的矩阵I代表了我们的巴士I号线的收费表，乘号右边的矩阵II代表了II号线的收费表。I是一个2×2的表格，II也是一个2×2的表格，我们有理由相信，它们的乘积也应该是类似的形式，也是一个2×2的表格。

┏         ┓    ┏       ┓       ┏       ┓
┃ 1 2   ┃    ┃ 1 3   ┃      ┃ a b    ┃
┃ 3 1   ┃ × ┃ 4 1  ┃ ＝  ┃ c d    ┃
┗         ┛    ┗       ┛        ┗       ┛

但是，那答案到底是什么？我们该怎么求出abcd这四个未知数？更重要的是，I×II的意义是什么呢？

海森堡说，I×II，表示你先乘搭巴士I号线，然后转乘了II号线。答案中的a是什么呢？a处在第一行第一列，它也必定表示从A地出发到A地下车的某种收费情况。海森堡说，a，其实就是说，你搭乘I号线从A地出发，期间转乘II号线，最后又回到A地下车。因为是乘法，所以它表示"I号线收费"和"II号线收费"的乘积。但是，情况还不是那么简单，因为我们的路线可能不止有一种，a实际代表的是所有收费情况的"总和"。

如果这不好理解，那么我们干脆把题目做出来。答案中的a，正如我们已经说明了的，表示我搭I号线从A地出发，然后转乘II号线，又回到A地下车的收费情况的总和。那么，我们如何具体地做到这一点呢？有两种方法：第一种，我们可以乘搭I号线从A地到B地，然后在B地转乘II号线，再从B地回到A地。此外，还有一种办法，就是我们在A地上了I号线，随即在原地下车。然后还是在A地再上II号线，同样在原地下车。这虽然听起来很不明智，但无疑也是一种途径。那么，我们答案中的a，其实就是这两种方法的收费情况的总和。

现在我们看看具体数字应该是多少：第一种方法，我们先乘I号线从A地到B地，车费应该是多少呢？我们还记得海森堡的车费规则，那就看矩阵I横坐标为A纵坐标为B的那个数字，也就是第一行第二列的那个2，2块钱。好，随后我们又从B地转乘II号线回到了A地，这里的车费对应于矩阵II第二行第一列的那个4。所以第一种方法的"收费乘积"是2×4＝8。但是，我们提到，还有另一种可能，就是我们在A地原地不动地上了I号线再下来，又上II号线再下来，这同样符合我们A地出发A地结束的条件。这对应于两个矩阵第一行第一列的两个数字的乘积，1×1＝1。那么，我们的最终答案，a，就等于这两种可能的迭加，也就是说，a＝2×4＋1×1＝9。因为没有第三种可能性了。

同样道理我们来求b。b代表先乘I号线然后转乘II号线，从A地出发最终抵达B地的收费情况总和。这同样有两种办法可以做到：先在A地上I号线随即下车，然后从A地坐II号线去B地。收费分别是1块（矩阵I第一行第一列）和3块（矩阵II第一行第二列），所以1×3＝3。还有一种办法就是先乘I号线从A地到B地，收费2块（矩阵I第一行第二列），然后在B地转II号线原地上下，收费1块（矩阵II第二行第二列），所以2×1＝1。所以最终答案：b＝1×3＋2×1＝5。

大家可以先别偷看答案，自己试着求c和d。最后应该是这样的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3×3＋1×1＝10。所以：

┏         ┓      ┏       ┓          ┏        ┓
┃ 1 2   ┃      ┃ 1 3    ┃        ┃ 9 5    ┃
┃ 3 1   ┃ ×  ┃ 4 1     ┃ ＝  ┃ 7 10   ┃
┗         ┛     ┗           ┛       ┗        ┛

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很抱歉讓大家如此痛苦不堪，不過我們的確在學習新的事物。如果你覺得這種乘法十分陌生的話，那麼我們很快就要給你更大的驚奇，但首先我們還是要熟悉這種新的運算規則才是。聖人說，溫故而知新，我們不必為了自己新學到的東西而沾沾自喜，還是鞏固鞏固我們的基礎吧，讓我們把上面這道題目驗算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其實沒有那麼乏味，我們可以把乘法的次序倒一倒，現在驗算一遍II×I：

┏       ┓      ┏       ┓        ┏       ┓
┃ 1 3   ┃    ┃ 1 2    ┃      ┃ a b   ┃
┃ 4 1 ┃ ×   ┃ 3 1    ┃ ＝ ┃ c d   ┃
┗       ┛      ┗         ┛      ┗       ┛

我知道大家都在唉聲歎氣，不過我還是堅持，復習功課是有益無害的。我們來看看a是什麼，現在我們是先乘搭II號線，然後轉I號線了，所以我們可以從A地上 II號線，然後下來。再上I號線，然後又下來。對應的是1×1。另外，我們可以坐II號線去B地，在B地轉I號線回到A地，所以是3×3＝9。所以 a＝1×1＋3×3＝10。

喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我們遇到問題了。在我們的驗算裏，a＝10，不過我還記得，剛才我們的答案說a＝9。各位把筆記本往回翻幾頁，看看我有沒有記錯？嗯，雖然大家都沒有記筆記，但我還是沒有記錯，剛才我們的a＝2×4＋1×1＝9。看來是我算錯了，我們再算一遍，這次可要打起精神了：a代表A地上車A地下車。所以可能的情況是：我搭II號線在A地上車A地下車（矩陣II第一行第一列），1塊。然後轉I號線同樣在A地上車A地下車（矩陣I第一行第一列），也是1塊。1×1＝1。還有一種可能是，我搭II號線在A地上車B地下車（矩陣II第一行第二列），3塊。然後在B地轉I號線從B地回到A地（矩陣 II第二行第一列），3塊。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。

嗯，奇怪，沒錯啊。那麼難道前面算錯了？我們再算一遍，好像也沒錯，前面a＝1＋8＝9。那麼，那麼……誰錯了？哈哈，海森堡錯了，他這次可丟臉了，他發明了一種什麼樣的表格乘法啊，居然導致如此荒唐的結果：I×II ≠ II×I。

我們不妨把結果整個算出來：

           ┏        ┓
            ┃ 9 5    ┃
I×II＝ ┃ 7 10   ┃
           ┗        ┛

           ┏        ┓
           ┃ 10 5   ┃
II×I＝ ┃ 7  9    ┃
           ┗        ┛

的確，I×II ≠ II×I。這可真讓人惋惜，原來我們還以為這種表格式的運算至少有點創意的，現在看來浪費了大家不少時間，只好說聲抱歉。但是，慢著，海森堡還有話要說，先別為我們死去的腦細胞默哀，它們的死也許不是完全沒有意義的。

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大家冷靜點，大家冷靜點，海森堡搖晃著他那漂亮的頭髮說，我們必須學會面對現實。我們已經說過了，物理學，必須從唯一可以被實踐的資料出發，而不是靠想像和常識習慣。我們要學會依賴於數學，而不是日常語言，因為只有數學才具有唯一的意義，才能告訴我們唯一的真實。我們必須認識到這一點：數學怎麼說，我們就得接受什麼。如果數學說I×II ≠ II×I，那麼我們就得這麼認為，哪怕世人用再嘲諷的口氣來譏笑我們，我們也不能改變這一立場。何況，如果仔細審查這裏面的意義，也並沒有太大的荒謬：先搭乘I號線，再轉II號線，這和先搭乘II號線，再轉I號線，導致的結果可能是不同的，有什麼問題嗎？

好吧，有人諷刺地說，那麼牛頓第二定律究竟是F＝ma，還是F＝am呢？

海森堡冷冷地說，牛頓力學是經典體系，我們討論的是量子體系。永遠不要對量子世界的任何奇特性質過分大驚小怪，那會讓你發瘋的。量子的規則，並不一定要受到乘法交換率的束縛。

他無法做更多的口舌之爭了，1925年夏天，他被一場熱病所感染，不得不離開哥廷根，到北海的一個小島赫爾格蘭（Helgoland）去休養。但是他的大腦沒有停滯，在遠離喧囂的小島上，海森堡堅定地沿著這條奇特的表格式道路去探索物理學的未來。而且，他很快就獲得了成功：事實上，只要把矩陣的規則運用到經典的動力學公式裏去，把玻爾和索末菲舊的量子條件改造成新的由堅實的矩陣磚塊構造起來的方程，海森堡可以自然而然地推導出量子化的原子能級和輻射頻率。而且這一切都可以順理成章從方程本身解出，不再需要像玻爾的舊模型那樣，強行附加一個不自然的量子條件。海森堡的表格的確管用！數學解釋一切，我們的想像是靠不住的。

雖然，這種古怪的不遵守交換率的矩陣乘法到底意味著什麼，無論對於海森堡，還是當時的所有人來說，都還仍然是一個謎題，但量子力學的基本形式卻已經得到了突破進展。從這時候起，量子論將以一種氣勢磅礴的姿態向前邁進，每一步都那樣雄偉壯麗，激起滔天的巨浪和美麗的浪花。接下來的3年是夢幻般的3年，是物理史上難以想像的3年，理論物理的黃金年代，終於要放射出它最耀眼的光輝，把整個20世紀都裝點得神聖起來。

海森堡後來在寫給好友范德沃登的信中回憶道，當他在那個石頭小島上的時候，有一晚忽然想到體系的總能量應該是一個常數。於是他試著用他那規則來解這個方程以求得振子能量。求解並不容易，他做了一個通宵，但求出來的結果和實驗符合得非常好。於是他爬上一個山崖去看日出，同時感到自己非常幸運。

是的，曙光已經出現，太陽正從海平線上冉冉升起，萬道霞光染紅了海面和空中的雲彩，在天地間流動著奇幻的輝光。在高高的石崖頂上，海森堡面對著壯觀的日出景象，他腳下碧海潮生，一直延伸到無窮無盡的遠方。是的，他知道，this is the moment，他已經作出生命中最重要的突破，而物理學的黎明也終於到來。

*********

飯後閒話：矩陣

我們已經看到，海森堡發明了這種奇特的表格，I×II ≠ II×I，連他自己都沒把握確定這是個什麼怪物。當他結束養病，回到哥廷根後，就把論文草稿送給老師波恩，讓他評論評論。波恩看到這種表格運算大吃一驚，原來這不是什麼新鮮東西，正是線性代數裏學到的"矩陣"！回溯歷史，這種工具早在1858年就已經由一位劍橋的數學家Arthur Cayley所發明，不過當時不叫"矩陣"而叫做"行列式"（determinant，這個字後來變成了另外一個意思，雖然還是和矩陣關係很緊密）。發明矩陣最初的目的，是簡潔地來求解某些微分方程組（事實上直到今天，大學線性代數課還是主要解決這個問題）。但海森堡對此毫不知情，他實際上不知不覺地"重新發明"了矩陣的概念。波恩和他那精通矩陣運算的助教約爾當隨即在嚴格的數學基礎上發展了海森堡的理論，進一步完善了量子力學，我們很快就要談到。

數學在某種意義上來說總是領先的。Cayley創立矩陣的時候，自然想不到它後來會在量子論的發展中起到關鍵作用。同樣，黎曼創立黎曼幾何的時候，又怎會料到他已經給愛因斯坦和他偉大的相對論提供了最好的工具。

喬治.蓋莫夫在那本受歡迎的老科普書《從一到無窮大》（One, Two, Three…Infinity）裏說，目前數學還有一個大分支沒有派上用場（除了智力體操的用處之外），那就是數論。古老的數論領域裏已經有許多難題被解開，比如四色問題，費馬大定理。也有比如著名的哥德巴赫猜想，至今懸而未決。天知道，這些理論和思路是不是在將來會給某個物理或者化學理論開道，打造出一片全新的天地來。

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四

從赫爾格蘭回來後，海森堡找到波恩，請求允許他離開哥廷根一陣，去劍橋講課。同時，他也把自己的論文給了波恩過目，問他有沒有發表的價值。波恩顯然被海森堡的想法給迷住了，正如他後來回憶的那樣："我對此著了迷……海森堡的思想給我留下了深刻的印象，對於我們一直追求的那個體系來說，這是一次偉大的突破。" 於是當海森堡去到英國講學的時候，波恩就把他的這篇論文寄給了《物理學雜誌》（Zeitschrift fur Physik）,並於7月29日發表。這無疑標誌著新生的量子力學在公眾面前的首次亮相。

但海森堡古怪的表格乘法無疑也讓波恩困擾，他在7月15日寫給愛因斯坦的信中說："海森堡新的工作看起來有點神秘莫測，不過無疑是很深刻的，而且是正確的。"但是，有一天，波恩突然靈光一閃：他終於想起來這是什麼了。海森堡的表格，正是他從前所聽說過的那個"矩陣"！

但是對於當時的歐洲物理學家來說，矩陣幾乎是一個完全陌生的名字。甚至連海森堡自己，也不見得對它的性質有著完全的瞭解。波恩決定為海森堡的理論打一個堅實的數學基礎，他找到泡利，希望與之合作，可是泡利對此持有強烈的懷疑態度，他以他標誌性的尖刻語氣對波恩說："是的，我就知道你喜歡那種冗長和複雜的形式主義，但你那無用的數學只會損害海森堡的物理思想。"波恩在泡利那裏碰了一鼻子灰，不得不轉向他那熟悉矩陣運算的年輕助教約爾當（Pascual Jordan,再過一個禮拜，就是他101年誕辰），兩人於是欣然合作，很快寫出了著名的論文《論量子力學》（Zur Quantenmechanik），發表在《物理學雜誌》上。在這篇論文中，兩人用了很大的篇幅來闡明矩陣運算的基本規則，並把經典力學的哈密頓變換統統改造成為矩陣的形式。傳統的動量p和位置q這兩個物理變數，現在成為了兩個含有無限資料的龐大表格，而且，正如我們已經看到的那樣，它們並不遵守傳統的乘法交換率，p×q ≠ q×p。

波恩和約爾當甚至把p×q和q×p之間的差值也算了出來，結果是這樣的：

pq - qp = (h/2πi) I

h是我們已經熟悉的普朗克常數，i是虛數的單位，代表-1的平方根，而I叫做單位矩陣，相當於矩陣運算中的1。波恩和約爾當奠定了一種新的力學--矩陣力學的基礎。在這種新力學體系的魔法下，普朗克常數和量子化從我們的基本力學方程中自然而然地跳了出來，成為自然界的內在稟性。如果認真地對這種力學形式做一下探討，人們會驚奇地發現，牛頓體系裏的種種結論，比如能量守恆，從新理論中也可以得到。這就是說，新力學其實是牛頓理論的一個擴展，老的經典力學其實被"包含"在我們的新力學中，成為一種特殊情況下的表現形式。

這種新的力學很快就得到進一步完善。從劍橋返回哥廷根後，海森堡本人也加入了這個偉大的開創性工作中。11月26日，《論量子力學II》在《物理學雜誌》上發表，作者是波恩，海森堡和約爾當。這篇論文把原來只討論一個自由度的體系擴展到任意個自由度，從而徹底建立了新力學的主體。現在，他們可以自豪地宣稱，長期以來人們所苦苦追尋的那個目標終於達到了，多年以來如此困擾著物理學家的原子光譜問題，現在終於可以在新力學內部完美地解決。《論量子力學II》這篇文章，被海森堡本人親切地稱呼為"三人論文"（Dreimannerarbeit）的，也終於註定要在物理史上流芳百世。

新體系顯然在理論上獲得了巨大的成功。泡利很快就改變了他的態度，在寫給克羅尼格（Ralph Laer Kronig）的信裏，他說："海森堡的力學讓我有了新的熱情和希望。"隨後他很快就給出了極其有說服力的證明，展示新理論的結果和氫分子的光譜符合得非常完美，從量子規則中，巴爾末公式可以被自然而然地推導出來。非常好笑的是，雖然他不久前還對波恩咆哮說"冗長和複雜的形式主義"，但他自己的證明無疑動用了最最複雜的數學。

不過，對於當時其他的物理學家來說，海森堡的新體系無疑是一個怪物。矩陣這種冷冰冰的東西實在太不講情面，不給人以任何想像的空間。人們一再追問，這裏面的物理意義是什麼？矩陣究竟是個什麼東西？海森堡卻始終護定他那讓人沮喪的立場：所謂"意義"是不存在的，如果有的話，那數學就是一切"意義"所在。物理學是什麼？就是從實驗觀測量出發，並以龐大複雜的數學關係將它們聯繫起來的一門科學，如果說有什麼圖像能夠讓人們容易理解和記憶的話，那也是靠不住的。但是，不管怎麼樣，畢竟矩陣力學對於大部分人來說都太陌生太遙遠了，而隱藏在它背後的深刻含義，當時還遠遠沒有被發掘出來。特別是，p×q ≠ q×p，這究竟代表了什麼，令人頭痛不已。

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一年後，當薛定諤以人們所喜聞樂見的傳統方式發佈他的波動方程後，幾乎全世界的物理學家都松了一口氣：他們終於解脫了，不必再費勁地學習海森堡那異常複雜和繁難的矩陣力學。當然，人人都必須承認，矩陣力學本身的偉大含義是不容懷疑的。

但是，如果說在1925年，歐洲大部分物理學家都還對海森堡，波恩和約爾當的力學一知半解的話，那我們也不得不說，其中有一個非常顯著的例外，他就是保羅.狄拉克。在量子力學大發展的年代，哥本哈根，哥廷根以及慕尼克三地搶盡了風頭，狄拉克的崛起總算也為老牌的劍橋挽回了一點顏面。

保羅.埃德里安.莫里斯.狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）於1902年8月8日出生於英國布里斯托爾港。他的父親是瑞士人，當時是一位法語教師，狄拉克是家裏的第二個孩子。許多大物理學家的童年教育都是多姿多彩的，比如玻爾，海森堡，還有薛定諤。但狄拉克的童年顯然要悲慘許多，他父親是一位非常嚴肅而刻板的人，給保羅制定了眾多的嚴格規矩。比如他規定保羅只能和他講法語（他認為這樣才能學好這種語言），於是當保羅無法表達自己的時候，只好選擇沈默。在小狄拉克的童年裏，音樂、文學、藝術顯然都和他無緣，社交活動也幾乎沒有。這一切把狄拉克塑造成了一個沈默寡言，喜好孤獨，淡泊名利，在許多人眼裏顯得geeky的人。有一個流傳很廣的關於狄拉克的笑話是這樣說的：有一次狄拉克在某大學演講，講完後一個觀眾起來說："狄拉克教授，我不明白你那個公式是如何推導出來的。"狄拉克看著他久久地不說話，主持人不得不提醒他，他還沒有回答問題。

"回答什麼問題？"狄拉克奇怪地說，"他剛剛說的是一個陳述句，不是一個疑問句。"

1921年，狄拉克從布里斯托爾大學電機工程系畢業，恰逢經濟大蕭條，結果沒法找到工作。事實上，很難說他是否會成為一個出色的工程師，狄拉克顯然長於理論而拙於實驗。不過幸運的是，布里斯托爾大學數學系又給了他一個免費進修數學的機會，2年後，狄拉克轉到劍橋，開始了人生的新篇章。

我們在上面說到，1925年秋天，當海森堡在赫爾格蘭島作出了他的突破後，他獲得波恩的批准來到劍橋講學。當時海森堡對自己的發現心中還沒有底，所以沒有在公開場合提到自己這方面的工作，不過7月28號，他參加了所謂"卡皮察俱樂部"的一次活動。卡皮察（P.L.Kapitsa）是一位年輕的蘇聯學生，當時在劍橋跟隨盧瑟福工作。他感到英國的學術活動太刻板，便自己組織了一個俱樂部，在晚上聚會，報告和討論有關物理學的最新進展。我們在前面討論盧瑟福的時候提到過卡皮察的名字，他後來也獲得了諾貝爾獎。

狄拉克也是卡皮察俱樂部的成員之一，他當時不在劍橋，所以沒有參加這個聚會。不過他的導師福勒（William Alfred Fowler）參加了，而且大概在和海森堡的課後討論中，得知他已經發明了一種全新的理論來解釋原子光譜問題。後來海森堡把他的證明寄給了福勒，而福勒給了狄拉克一個複印本。這一開始沒有引起狄拉克的重視，不過大概一個禮拜後，他重新審視海森堡的論文，這下他把握住了其中的精髓：別的都是細枝末節，只有一件事是重要的，那就是我們那奇怪的矩陣乘法規則：p×q ≠ q×p。

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飯後閒話：約爾當

恩斯特.帕斯庫爾.約爾當（Ernst Pascual Jordan）出生於漢諾威。在我們的史話裏已經提到，他是物理史上兩篇重要的論文《論量子力學》I和II的作者之一，可以說也是量子力學的主要創立者。但是，他的名聲顯然及不上波恩或者海森堡。

這裏面的原因顯然也是多方面的，1925年，約爾當才22歲，無論從資格還是名聲來說，都遠遠及不上元老級的波恩和少年成名的海森堡。當時和他一起做出貢獻的那些人，後來都變得如此著名：波恩，海森堡，泡利，他們的光輝耀眼，把約爾當完全給蓋住了。

從約爾當本人來說，他是一個害羞和內向的人，說話有口吃的毛病，總是結結巴巴的，所以他很少授課或發表演講。更嚴重的是，約爾當在二戰期間站到了希特勒的一邊，成為一個納粹的同情者，被指責曾經告密。這大大損害了他的聲名。

約爾當是一個作出了許多偉大成就的科學家。除了創立了基本的矩陣力學形式，為量子論打下基礎之外，他同樣在量子場論，電子自旋，量子電動力學中作出了巨大的貢獻。他是最先證明海森堡和薛定諤體系同等性的人之一，他發明了約爾當代數，後來又廣泛涉足生物學、心理學和運動學。他曾被提名為諾貝爾獎得主，卻沒有成功。約爾當後來顯然也對自己的成就被低估有些惱火，1964年，他聲稱《論量子力學》一文其實幾乎都是他一個人的貢獻--波恩那時候病了。這引起了廣泛的爭議，不過許多人顯然同意，約爾當的貢獻應當得到更多的承認。

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五

p×q ≠ q×p。如果說狄拉克比別人天才在什麼地方，那就是他可以一眼就看出這才是海森堡體系的精髓。那個時候，波恩和約爾當還在苦苦地鑽研討厭的矩陣，為了建立起新的物理大廈而努力地搬運著這種龐大而又沉重的表格式方磚，而他們的文章尚未發表。但狄拉克是不想做這種苦力的，他輕易地透過海森堡的表格，把握住了這種代數的實質。不遵守交換率，這讓我想起了什麼？狄拉克的腦海裏閃過一個名詞，他以前在上某一門動力學課的時候，似乎聽說過一種運算，同樣不符合乘法交換率。但他還不是十分確定，他甚至連那種運算的定義都給忘了。那天是星期天，所有的圖書館都關門了，這讓狄拉克急得像熱鍋上的螞蟻。第二天一早，圖書館剛剛開門，他就沖了進去，果然，那正是他所要的東西：它的名字叫做"泊松括弧"。


我們還在第一章討論光和菲涅爾的時候，就談到過泊松，還有著名的泊松光斑。泊松括弧也是這位法國科學家的傑出貢獻，不過我們在這裏沒有必要深入它的數學意義。總之，狄拉克發現，我們不必花九牛二虎之力去搬弄一個晦澀的矩陣，以此來顯示和經典體系的決裂。我們完全可以從經典的泊松括弧出發，建立一種新的代數。這種代數同樣不符合乘法交換率，狄拉克把它稱作"q數"（q表示"奇異"或者"量子"）。我們的動量、位置、能量、時間等等概念，現在都要改造成這種 q數。而原來那些老體系裏的符合交換率的變數，狄拉克把它們稱作"c數"（c代表"普通"）。

"看。"狄拉克說，"海森堡的最後方程當然是對的，但我們不用他那種大驚小怪，牽強附會的方式，也能夠得出同樣的結果。用我的方式，同樣能得出xy-yx 的差值，只不過把那個讓人看了生厭的矩陣換成我們的經典泊松括弧[x,y]罷了。然後把它用於經典力學的哈密頓函數，我們可以順理成章地導出能量守恆條件和玻爾的頻率條件。重要的是，這清楚地表明瞭，我們的新力學和經典力學是一脈相承的，是舊體系的一個擴展。c數和q數，可以以清楚的方式建立起聯繫來。"

狄拉克把論文寄給海森堡，海森堡熱情地讚揚了他的成就，不過帶給狄拉克一個糟糕的消息：他的結果已經在德國由波恩和約爾當作出了，是通過矩陣的方式得到的。想來狄拉克一定為此感到很鬱悶，因為顯然他的法子更簡潔明晰。隨後狄拉克又出色地證明了新力學和氫分子實驗資料的吻合，他又一次鬱悶了--泡利比他快了一點點，五天而已。哥廷根的這幫傢伙，海森堡，波恩，約爾當，泡利，他們是大軍團聯合作戰，而狄拉克在劍橋則是孤軍奮鬥，因為在英國懂得量子力學的人簡直屈指可數。但是，雖然狄拉克慢了那麼一點，但每一次他的理論都顯得更為簡潔、優美、深刻。而且，上天很快會給他新的機會，讓他的名字在歷史上取得不遜於海森堡、波恩等人的地位。

現在，在舊的經典體系的廢墟上，矗立起了一種新的力學，由海森堡為它奠基，波恩，約爾當用矩陣那實心的磚塊為它建造了堅固的主體，而狄拉克的優美的q數為它做了最好的裝飾。現在，唯一缺少的就是一個成功的廣告和落成典禮，把那些還在舊廢墟上唉聲歎氣的人們都吸引到新大廈裏來定居。這個慶典在海森堡取得突破後3個月便召開了，它的主題叫做"電子自旋"。

我們還記得那讓人頭痛的"反常塞曼效應"，這種複雜現象要求引進1/2的量子數。為此，泡利在1925年初提出了他那著名的"不相容原理"的假設，我們前面已經討論過，這個規定是說，在原子大廈裏，每一間房間都有一個4位數的門牌號碼，而每間房只能入住一個電子。所以任何兩個電子也不能共用同一組號碼。

這個"4位數的號碼"，其每一位元都代表了電子的一個量子數。當時人們已經知道電子有3個量子數，這第四個是什麼，便成了眾說紛紜的謎題。不相容原理提出後不久，當時在哥本哈根訪問的克羅尼格（Ralph Kronig）想到了一種可能：就是把這第四個自由度看成電子繞著自己的軸旋轉。他找到海森堡和泡利，提出了這一思路，結果遭到兩個德國年輕人的一致反對。因為這樣就又回到了一種圖像化的電子概念那裏，把電子想像成一個實實在在的小球，而違背了我們從觀察和數學出發的本意了。如果電子真是這樣一個帶電小球的話，在麥克斯韋體系裏是不穩定的，再說也違反相對論--它的表面旋轉速度要高於光速。

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到了1925年秋天，自旋的假設又在荷蘭萊頓大學的兩個學生，烏侖貝克（George Eugene Uhlenbeck）和古德施密特（Somul Abraham Goudsmit）那裏死灰復燃了。當然，兩人不知道克羅尼格曾經有過這樣的意見，他們是在研究光譜的時候獨立產生這一想法的。於是兩人找到導師埃侖費斯特（Paul Ehrenfest）徵求意見。埃侖費斯特也不是很確定，他建議兩人先寫一個小文章發表。於是兩人當真寫了一個短文交給埃侖費斯特，然後又去求教於老資格的洛侖茲。洛侖茲幫他們算了算，結果在這個模型裏電子錶面的速度達到了光速的10倍。兩人大吃一驚，風急火燎地趕回大學要求撤銷那篇短文，結果還是晚了，埃侖費斯特早就給Nature雜誌寄了出去。據說，兩人當時懊惱得都快哭了，埃侖費斯特只好安慰他們說："你們還年輕，做點蠢事也沒關係。"

還好，事情並沒有想像的那麼糟糕。玻爾首先對此表示贊同，海森堡用新的理論去算了算結果後，也轉變了反對的態度。到了1926年，海森堡已經在說："如果沒有古德施密特，我們真不知該如何處理塞曼效應。"一些技術上的問題也很快被解決了，比如有一個係數2，一直和理論所抵觸，結果在玻爾研究所訪問的美國物理學家湯瑪斯發現原來人們都犯了一個計算錯誤，而自旋模型是正確的。很快海森堡和約爾當用矩陣力學處理了自旋，結果大獲全勝，很快沒有人懷疑自旋的正確性了。

哦，不過有一個例外，就是泡利，他一直對自旋深惡痛絕。在他看來，原本電子已經在數學當中被表達得很充分了--現在可好，什麼形狀、軌道、大小、旋轉…… 種種經驗性的概念又幽靈般地回來了。原子系統比任何時候都像個太陽系，本來只有公轉，現在連自轉都有了。他始終按照自己的路子走，決不向任何力學模型低頭。事實上，在某種意義上泡利是對的，電子的自旋並不能想像成傳統行星的那種自轉，它具有1/2的量子數，也就是說，它要轉兩圈才露出同一個面孔，這裏面的意義只能由數學來把握。後來泡利真的從特定的矩陣出發，推出了這一性質，而一切又被偉大的狄拉克於1928年統統包含於他那相對論化了的量子體系中，成為電子內稟的自然屬性。

但是，無論如何，1926年海森堡和約爾當的成功不僅是電子自旋模型的勝利，更是新生的矩陣力學的勝利。不久海森堡又天才般地指出了解決有著兩個電子的原子--氦原子的道路，使得新體系的威力再次超越了玻爾的老系統，把它的疆域擴大到以前未知的領域中。已經在迷霧和荊棘中彷徨了好幾年的物理學家們這次終於可以揚眉吐氣，把長久鬱積的壞心情一掃而空，好好地呼吸一下那新鮮的空氣。

但是，人們還沒有來得及歇一歇腳，欣賞一下周圍的風景，為目前的成就自豪一下，我們的快艇便又要前進了。物理學正處在激流之中，它飛流直下，一瀉千里，帶給人暈眩的速度和刺激。自牛頓起250年來，科學從沒有在哪個時期可以像如今這般翻天覆地，健步如飛。量子的力量現在已經完全蘇醒了，在接下來的3年間，它將改變物理學的一切，在人類的智慧中刻下最深的烙印，並影響整個20世紀的面貌。

當烏侖貝克和古德施密特提出自旋的時候，玻爾正在去往萊登（Leiden）的路上。當他的火車到達漢堡的時候，他發現泡利和斯特恩（Stern）站在站臺上，只是想問問他關於自旋的看法，玻爾不大相信，但稱這很有趣。到達萊登以後，他又碰到了愛因斯坦和埃侖費斯特，愛因斯坦詳細地分析了這個理論，於是玻爾改變了看法。在回去的路上，玻爾先經過哥廷根，海森堡和約爾當站在站臺上。同樣的問題：怎麼看待自旋？最後，當玻爾的火車抵達柏林，泡利又站在了站臺上 --他從漢堡一路趕到柏林，想聽聽玻爾一路上有了什麼看法的變化。

人們後來回憶起那個年代，簡直像是在講述一個童話。物理學家們一個個都被洪流衝擊得站不住腳：節奏快得幾乎不給人喘息的機會，爆炸性的概念一再地被提出，每一個都足以改變整個科學的面貌。但是，每一個人都感到深深的驕傲和自豪，在理論物理的黃金年代，能夠扮演歷史舞臺上的那一個角色。人們常說，時勢造英雄，在量子物理的大發展時代，英雄們的確留下了最最偉大的業績，永遠讓後人心神嚮往。

回到我們的史話中來。現在，花開兩朵，各表一支。我們去看看量子論是如何沿著另一條完全不同的思路，取得同樣偉大的突破的。

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第六章 大一統

一

當年輕氣盛的海森堡在哥廷根披荊斬棘的時候，埃爾文.薛定諤（Erwin Schrodinger）已經是瑞士蘇黎世大學的一位有名望的教授。當然，相比海森堡來說，薛定諤只能算是大器晚成。這位出生於維也納的奧地利人並沒有海森堡那麼好的運氣，在一個充滿了頂尖精英人物的環境裏求學，而幾次在戰爭中的服役也阻礙了他的學術研究。但不管怎樣，薛定諤的物理天才仍然得到了很好的展現，他在光學、電磁學、分子運動理論、固體和晶體的動力學方面都作出過突出的貢獻，這一切使得蘇黎世大學於1921年提供給他一份合同，聘其為物理教授。而從1924年起，薛定諤開始對量子力學和統計理論感到興趣，從而把研究方向轉到這上面來。

和玻爾還有海森堡他們不同，薛定諤並不想在原子那極為複雜的譜線迷宮裏奮力衝突，撞得頭破血流。他的靈感，直接來自于德布羅意那巧妙絕倫的工作。我們還記得，1923年，德布羅意的研究揭示出，伴隨著每一個運動的電子，總是有一個如影隨形的"相波"。這一方面為物質的本性究竟是粒子還是波蒙上了更為神秘莫測的面紗，但同時也已經提供通往最終答案的道路。

薛定諤還是從愛因斯坦的文章中得知德布羅意的工作的。他在1925年11月3日寫給愛因斯坦的信中說："幾天前我懷著最大的興趣閱讀了德布羅意富有獨創性的論文，並最終掌握了它。我是從你那關於簡並氣體的第二篇論文的第8節中第一次瞭解它的。"把每一個粒子都看作是類波的思想對薛定諤來說極為迷人，他很快就在氣體統計力學中應用這一理論，並發表了一篇題為《論愛因斯坦的氣體理論》的論文。這是他創立波動力學前的最後一篇論文，當時距離那個偉大的時刻已經只有一個月。從中可以看出，德布羅意的思想已經最大程度地獲取了薛定諤的信任，他開始相信，只有通過這種波的辦法，才能夠到達人們所苦苦追尋的那個目標。

1925年的聖誕很快到來了，美麗的阿爾卑斯山上白雪皚皚，吸引了各地的旅遊度假者。薛定諤一如既往地來到了他以前常去的那個地方：海拔1700米高的阿羅薩（Arosa）。自從他和安妮瑪麗.伯特爾（Annemarie Bertel）在1920年結婚後，兩人就經常來這裏度假。薛定諤的生活有著近乎刻板的規律，他從來不讓任何事情干擾他的假期。而每次夫婦倆來到阿羅薩的時候，總是住在赫維格別墅，這是一幢有著尖頂的，四層樓的小屋。

不過1925年，來的卻只有薛定諤一個人，安妮留在了蘇黎世。當時他們的關係顯然極為緊張，不止一次地談論著分手以及離婚的事宜。薛定諤寫信給維也納的一位"舊日的女朋友"，讓她來阿羅薩陪伴自己。這位神秘女郎的身份始終是個謎題，二戰後無論是科學史專家還是八卦新聞記者，都曾經竭盡所能地去求證她的真面目，卻都沒有成功。薛定諤當時的日記已經遺失了，而從留下的蛛絲馬跡來看，她又不像任何一位已知的薛定諤的情人。但有一件事是肯定的：這位神秘女郎極大地激發了薛定諤的靈感，使得他在接下來的12個月裏令人驚異地始終維持著一種極富創造力和洞察力的狀態，並接連不斷地發表了六篇關於量子力學的主要論文。薛定諤的同事在回憶的時候總是說，薛定諤的偉大工作是在他生命中一段情欲旺盛的時期做出的。從某種程度上來說，科學還要小小地感謝一下這位不知名的女郎。

回到比較嚴肅的話題上來。在咀嚼了德布羅意的思想後，薛定諤決定把它用到原子體系的描述中去。我們都已經知道，原子中電子的能量不是連續的，它由原子的分立譜線而充分地證實。為了描述這一現象，玻爾強加了一個"分立能級"的假設，海森堡則運用他那龐大的矩陣，經過複雜的運算後導出了這一結果。現在輪到薛定諤了，他說，不用那麼複雜，也不用引入外部的假設，只要把我們的電子看成德布羅意波，用一個波動方程去表示它，那就行了。

薛定諤一開始想從建立在相對論基礎上的德布羅意方程出發，將其推廣到束縛粒子中去。為此他得出了一個方程，不過不太令人滿意，因為沒有考慮到電子自旋的情況。當時自旋剛剛發現不久，薛定諤還對其一知半解。於是，他回過頭來，從經典力學的哈密頓-雅可比方程出發，利用變分法和德布羅意公式，最後求出了一個非相對論的波動方程，用希臘字母ψ來代表波的函數，最終形式是這樣的：